行列基礎

用語リスト

正則行列

$$AB=BA=E$$

が成り立つn次の正方行列$A$を正則行列という。 また、「行列$A$は正則である」という。

逆行列

$n$次の正則行列$A$について、

$$AB=BA=E$$

が成り立つ行列$B$のことを逆行列という。

逆行列の性質

$A$と$B$が$n$次の正則行列なら、$AB$も正則であり、

$${\left( AB \right)}^{-1} = {B}^{-1}{A}^{-1}$$

が成り立つ。

直交行列

行列 $A$ の転置行列 ${A}^{T}$ が逆行列であるとき

$$A{A}^{T} = E$$

行列$A$を直交行列という。

正規直交行列

それぞれの列ベクトルの長さが1な直交行列のことを正規直交行列という。 正規直交行列であることを"正規直交基底をなす"という。

変換行列

2次元版

回転行列

回転行列は正規直交行列 回転行列の列ベクトル（⇔）はそれぞれ単位ベクトルであり直交するので正規直交行列である。

正規直交行列なので、回転行列の逆行列は転置行列である。

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$

3x3版

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\\sin\theta & \cos\theta & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}$$

拡大縮小行列

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{S}_{x} & 0 & 0 \\0 & {S}_{y} & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}$$

平行移動行列

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & {T}_{x} \\0 & 1 & {T}_{y} \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}$$

3次元版

回転行列

X軸回転

$$Y = y\cos{\theta}_{x}-z\sin{\theta}_{x} \\ Z = y\sin{\theta}_{x}+z\cos{\theta}_{x}$$

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & \cos{\theta}_{x} & -\sin{\theta}_{x} & 0\\0 & \sin{\theta}_{x} & \cos{\theta}_{x} & 0 \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$$

Y軸回転

$$Z = z\cos{\theta}_{y} - x\sin{\theta}_{y} \\ X = z\sin{\theta}_{y} + x\cos{\theta}_{y}$$

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sin{\theta}_{y} & 0 & \cos{\theta}_{y} & 0 \\0 & 1 & 0 & 0\\-\sin{\theta}_{y} & 0 & \cos{\theta}_{y} & 0 \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$$

Z軸回転

$$X = x\cos{\theta}_{z} - y\sin{\theta}_{z} \\ Y = x\sin{\theta}_{z} + Y\cos{\theta}_{z}$$

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos{\theta}_{z} & -\sin{\theta}_{z} & 0 & 0 \\\sin{\theta}_{z} & \cos{\theta}_{z} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$$

拡大縮小行列

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{S}_{x} & 0 & 0 & 0 \\0 & {S}_{y} & 0 & 0\\0 & 0 & {S}_{z} & 0 \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$$

平行移動行列

$$\begin{bmatrix}X \\ Y \\ Z \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & {T}_{x} \\0 & 1 & 0 & {T}_{y}\\0 & 0 & 1 & {T}_{z} \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$$

特定の角度で拡縮

回転して拡大縮小し逆回転させる。

回転行列を$R$、拡大縮小行列を$S$とすると

$$RS{R}^{T}$$

で表される。